Hàm tựa-mũ

Lý thuyết số

Chứng minh e là số vô tỉ.

Giả sử e là số hữu tỉ, suy ra

e = p q {\displaystyle e={\frac {p}{q}}}

Dựa vào công thức:

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots } . e . q ! = ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + ⋯ ) . q ! = ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + ⋯ + 1 q ! ) . q ! + 1 q + 1 + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) ( q + 3 ) + ⋯ {\displaystyle e.q!=({\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots ).q!=({\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{q!}}).q!+{\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)(q+3)}}+\cdots }

e.q! là số nguyên dương, suy ra: 1 q + 1 + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) ( q + 3 ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)(q+3)}}+\cdots } là số nguyên dương.

Mặt khác: 1 q + 1 + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) + 1 ( q + 1 ) ( q + 2 ) ( q + 3 ) + ⋯ < 1 q + 1 + 1 q + 1 − 1 q + 2 + 1 q + 2 − 1 q + 3 + . . . ≤ 2 q + 1 ≤ 1 {\displaystyle {\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)(q+3)}}+\cdots <{\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{q+1}}-{\frac {1}{q+2}}+{\frac {1}{q+2}}-{\frac {1}{q+3}}+...\leq {\frac {2}{q+1}}\leq 1} .

Suy ra điều mâu thuẫn.

Vậy e là số vô tỉ.

Số phức